加密中数论基础知识,RSA加密算法及证明

记法

设n为正整数,a和b为整数,若a和b被n除后所得余数相同,
称a和b模n同余,记为a≡b(mod n);或  a≡b(% n)
此式被称为同余式。

或表达为:a % n =b % n  或 a mod n =b mod n;

若n能整除a则同余式表示为a ≡ 0(mod n)。

欧拉函数

对于正整数N,少于或等于N ([1,N]),且与N互质的正整数(包括1)的个数,记作φ(N)。即欧拉函数。

欧拉定理:

若N>2; a与N互质,则a^(φ(N))  ≡ 1 (mod N )

欧拉函数的性质:

(1)   p^k型欧拉函数:

若N是质数p(即N=p), φ(N)= φ(p)=p-p^(k-1)=p-1。

若N是质数p的k次幂(即N=p^k),φ(N)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)。

(2)  mn型欧拉函数

若m,n互质,φ(mn)=(m-1)(n-1)=φ(m)φ(n)。

(3)  特殊性质:

若n为奇数时,φ(2n)=φ(n)。

费马小定理:

设任意整数a和素数p互素 ,则 a^p-1 ≡ 1(mod p)

运算规则

模运算与基本四则运算有些相似,但是除法例外。其规则如下:

 (a + b) % p = (a % p + b % p) % p (1)

 (a - b) % p = (a % p - b % p) % p  (2)

 (a * b) % p = (a % p * b % p) % p (3)

 (a^b) % p =   ( (a % p)^b ) % p     (4)

结合率:

((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p (5)

 ((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p   (6)

交换率:

 (a + b) % p = (b+a) % p (7)

 (a * b) % p = (b * a) % p (8)

分配率:

 ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p (9)

重要定理

若a≡b (% p),则对于任意的c,都有(a + c) ≡ (b + c) (%p);(10)

若a≡b (% p),则对于任意的c,都有(a * c) ≡ (b * c) (%p);(11)

若a≡b (% p),c≡d (% p),则 (a + c) ≡ (b + d) (%p),(a - c) ≡ (b - d) (%p),

(a * c) ≡ (b * d) (%p),(a / c) ≡ (b / d) (%p); (12)

若a≡b (% p),则对于任意的c,都有ac≡ bc (%p); (13)

RSA中重要的推论

m 和 n 是互质的正整数,则:

(a^m) %n  =  ((a%n)^m) %n

推论证明

   a^m % n 
   =a*a ^(m-1) %n
   =(a%n) *(a ^(m-1) %n ) % n  //后续不断展开,一直至a ^0,即共有m项
   =((a%n)^m) %n 

推论中举例:

比如:2^3 mod 5
 = (2 mod 5)^ 3 mod5
 = 8 mod5
 = 3
还有:3^3 mod 2
= (3 mod 2) ^3  mod 2
=1^3 mod 2
=1

加密思路:加密本质上是对加密内容的字节数组进行加密。不是对字符的本身进行加密。这样,整数对整数就可以进行相关的变换,即加密了。

比如:"I love Rust,Julia & Python, they are so cool! "的字节数组为:
[73, 32, 108, 111, 118, 101, 32, 82, 117, 115, 116, 
44, 74, 117, 108, 105, 97, 32, 38, 32, 80, 121, 116, 
104, 111, 110, 44, 32, 116, 104, 101, 121, 32,
 97, 114, 101, 32, 115, 111, 32, 99, 111, 111, 108, 33, 32]

RSA加密算法为:

(1) 取两个大素数p,q (保密);
(2) 计算 n=p*q (公开), φ(n)=(p-1)*(q-1) (保密);
(3) 随机选取整数e,满足 gcd(e, φ(n))=1 (e与φ(n)互素)(公开);
(4) 计算 d 满足 d*e≡1 (mod φ(n)) (保密); (d为e的逆元,可通过扩展的欧几里得算法进行求解)
(5) {e,n}为公钥,{d,n}为私钥,也可以用{e,d}表示密钥对
(6) m为加密内容(如73),此时c为加密后的密文;
       加密时 c = m^e mod n 
       解密时 m = c^d mod n
(7) m为签名内容,
       签名时c = m^d mod n ;
       解密时 m = m^e mod n

为什么RSA算法能保证其安全性?

要破解m =>
必须知道  d或e =>
必须知道  φ(n) =>
必须知道  p及q;  =>
必须能破解 n=p*q =>
大质数因式分解的难度 => 公认

RSA证明

主要要证明m是否c^d mod n。由c = m^e mod n 。设M =m^e
证式
 =    c^d mod n
 =  (m^e mod n )^d mod n 
 =    (M mod n) ^d mod n
 =    M^d mod n                   //见上面的推论
 =    m^(d*e )mod n ; 
因为 d*e≡1 (mod φ(n)) 
得到:d*e =k *φ(n) +1 ; k是正整数。
上面证式还有,
 =    m^(k *φ(n) +1 ) mod n
 =    m^(k *φ(n))*m  mod n     // 
 =    (m^(k *φ(n))mod  n ) *(m mod n)  mod n         //  乘法 
 =    1 * m mod n  // 由欧拉定理
 =    m
 证毕。
 所以解密的公式是对的。

每个程序员都应该收藏的算法复杂度速查表

英文:http://bigocheatsheet.com/
编译:Linux中国
链接:https://linux.cn/article-7480-1.html

这篇文章覆盖了计算机科学里面常见算法的时间和空间的大 OBig-O 复杂度。我之前在参加面试前,经常需要花费很多时间从互联网上查找各种搜索和排序算法的优劣,以便我在面试时不会被问住。最近这几年,我面试了几家硅谷的初创企业和一些更大一些的公司,如 Yahoo、eBay、LinkedIn 和 Google,每次我都需要准备这个,我就在问自己,“为什么没有人创建一个漂亮的大 O 速查表呢?”所以,为了节省大家的时间,我就创建了这个,希望你喜欢!

— Eric[1]

图例

数据结构操作

数组排序算法

图操作

堆操作

大 O 复杂度图表

Big O 复杂度

推荐阅读

  • Cracking the Coding Interview: 150 Programming Questions and Solutions[33]
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关注「算法爱好者」

广东一景区推天体森林浴 年轻女孩成首名游客(图)

2012年02月20日 16:12 来源:广州日报 作者:杨波

这名女孩大胆体验森林浴,让整个身心融入到森林花香之中。

这名女孩大胆尝试(来源:珠江时报)

广州日报讯(记者杨波通讯员叶爱群)早春的阳光透过树叶空隙铺满落叶的地上,金黄如稻穗一样的木姜花盛放在枝头,空气清新而湿润,几声鸟鸣更让森林显得清静幽远。一名年轻女子轻轻脱掉衣服,漫步在阳光斑驳、古树参天、藤蔓缠绕的林荫小道,没有衣物牵绊的身体享受着阳光与森林的轻抚,带来赏心悦目的快乐。三水一景区为让游客与大自然亲密接触,昨天推出天体森林浴,一名前卫大胆的女孩成为体验感受天体森林浴的第一人。

昨天是周日,虽然已经是早春天气,但天气依然春寒料峭。有一名大胆女游客首度来到该景区体验感受天体森林浴。

大胆女孩成“吃螃蟹”第一人

昨日下午2时,这名女游客轻解罗裳,在开满木姜花,洒满落叶的林荫小径上漫步,尽情地享受阳光下的森林浴。

20多分钟后,这名女子体验完了天体森林浴。沐浴了森林与阳光的女孩在接受记者采访时掩饰不住自己的快乐。

她告诉记者,森林浴是一种非常健康的度假休闲方式。森林中的许多树木花草,如樟树、落叶松、蒲公英等,会散发出一种对人有益的药素,这种药素不但可以治疗某些常见病,而且对身体非常有益。而沐浴森林浴,对身体更好,能够让身体没有衣物牵绊地与森林、大自然亲密接触。

争议

支持者:这是一种享受

反对者:还是“有伤风化”

记者随机询问了部分游客,对天体森林浴能否接受?首度体验天体森林浴的女孩认为,与阳光亲吻、与森林拥抱,让身体完全解放,享受特别的乐趣,的确是一种享受。裸游是正常的现象,不必大惊小怪,这体现了人们观念的一种进步,不应该被禁止。“只要不影响他人,那裸游就无可非议。”

来自广州的游客李先生认为,受到传统的道德观念影响,在公众场合“裸体”将被视为是“有伤风化”的举动。因此能冲破那种道德底线的人也寥寥无几。

在南海一间中学做教师的罗先生认为,至今还没有在公共场合推行裸泳、裸体森林浴的做法,该景区推出这个项目值得三思而后行。虽然天体森林浴对身体健康很有好处,但在目前开设天体浴场还是会被多数人认为有伤风化。

而从事律师工作的王先生则认为,法律上尚无明文规定禁止“裸泳”,景区搞森林浴并不违反相关法律。关键要划分男宾区和女宾区,禁止未成年人入裸体浴区,禁止男女混浴(包括夫妻在内),禁止拍照摄影等,使游客能真正释放自我,领略原始森林浴的无穷魅力。

铁道部:订票网站成全球最繁忙网站之一

2012-01-09 07:59 来源: 新华网

新华网北京1月8日电(记者齐中熙 樊曦)日均点击超过10亿次,中国火车票订票网站“12306”在春运开始前7天就瞬间成为世界上最繁忙的网站之一。

铁道部副部长胡亚东8日在国务院新闻办举行的春运新闻发布上称,从1月1日到7日,“12306”网站日均点击次数已经超过了10亿次。“有的专家评论,中国铁路‘12306’客户服务网站瞬间可能达到了‘世界第一’。”

他表示,在售票服务方面,今年全国铁路第一次实行了网络售票和电话订票。这个措施实施以后,方便旅客购票和回应社会上对铁路售票公开、公平上产生了比较好的效果。

“现在网络售票和电话订票,每天已经达到了200万张,网络售票的注册用户已经超过了1000万人。现在有200万张票通过网络和电话售出,也就是说,有约1/3的旅客不用再到车站好几个小时、甚至整宿排队买票。”胡亚东说。

此外,对社会比较关注的学生、农民工和残疾人的出行,铁路部门也扩大了他们订往返票的时间和范围,各个车站都可以在这40天期间办理学生、民工团体的往返票,组织开行大量的民工专列。铁路新造的带有残疾人专用席位和专门设施的车辆,也要在今年春运中投入使用。